Question

19．已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|，x∈R，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{1}（x），{f}_{1}（x）≤{f}_{2}（x）}\\{{f}_{2}（x），{f}_{1}（x）＞{f}_{2}（x）}\end{array}\right.$
（1）當a=1時，請寫出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當2≤a＜9時，設f（x）=f₂（x）對應的自變量取值區(qū)間的長度為l（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m）求l關于a的表達式，并求出l的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用指數(shù)不等式的解法和絕對值的含義，可得f（x）的解析式，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可得f₂（x）≤f₁（x），即為|a•3^x-9|≤|3^x-1|，結(jié)合條件，化簡整理可得log₃$\frac{10}{a+1}$≤x≤log₃$\frac{8}{a-1}$，可得l=log₃$\frac{8}{a-1}$-log₃$\frac{10}{a+1}$，運用對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡整理，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得l為關于a的減函數(shù)，進而得到l的范圍．

解答 解：（1）當a=1時，f₂（x）=|a•3^x-9|=|3^x-9|，
當|3^x-9|≥|3^x-1|，可得（2•3^x-10）（-8）≥0，
即為3^x≤5，即x≤log₃5，
可得f（x）=|3^x-1|，x≤log₃5，
當0≤x≤log₃5時，f（x）=3^x-1；
當x＜0時，f（x）=1-3^x；
當x＞log₃5，f（x）=|3^x-9|，
當x≥2時，f（x）=3^x-9，
當log₃5＜x＜2時，f（x）=9-3^x．
則x＜0時，f（x）=1-3^x遞減；
log₃5＜x＜2時，f（x）=9-3^x遞減．
綜上可得，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（log₃5，2）；
（2）由題意可得f₂（x）≤f₁（x），
即為|a•3^x-9|≤|3^x-1|，
平方可得（a•3^x-9）²≤（3^x-1）²，
即有[（a-1）•3^x-8][（a+1）•3^x-10]≤0，
由2≤a＜9，可得（3^x-$\frac{8}{a-1}$）（3^x-$\frac{10}{a+1}$）≤0，
又$\frac{8}{a-1}$-$\frac{10}{a+1}$=$\frac{2（9-a）}{{a}^{2}-1}$＞0，
則$\frac{10}{a+1}$≤3^x≤$\frac{8}{a-1}$，
即有l(wèi)og₃$\frac{10}{a+1}$≤x≤log₃$\frac{8}{a-1}$，
可得l=log₃$\frac{8}{a-1}$-log₃$\frac{10}{a+1}$
=log₃$\frac{4（a+1）}{5（a-1）}$=log₃$\frac{4}{5}$+log₃$\frac{a+1}{a-1}$
=log₃$\frac{4}{5}$+log₃（1+$\frac{2}{a-1}$），
由2≤a＜9，可得l是關于a的遞減函數(shù)，
即有0＜l≤log₃$\frac{12}{5}$．
則l的取值范圍的范圍是（0，log₃$\frac{12}{5}$]．

點評 本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，注意運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查區(qū)間長度的取值范圍，注意化簡整理和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．