Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為$a，b，c．且滿足\frac{asinA+bsinB-csinC}{asinB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinC$．
（1）求角C；
（2）若△ABC的中線CD的長(zhǎng)為1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，由余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tanC的值，結(jié)合范圍C∈（0，π），可得C的值．
（2）由三角形中線長(zhǎng)定理得：2（a²+b²）=4+c²，由三角形余弦定理得：c²=a²+b²-ab，消去c²，結(jié)合基本不等式可求ab≤$\frac{4}{3}$，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）∵由已知及正弦定理可得：$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴由余弦定理可得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinC$，
即$tanC=\sqrt{3}$，
∴由C∈（0，π），可得$C=\frac{π}{3}$．
（2）由三角形中線長(zhǎng)定理得：2（a²+b²）=2²+c²=4+c²，
由三角形余弦定理得：c²=a²+b²-ab，
消去c²得：$4-ab={a^2}+{b^2}≥2ab，ab≤\frac{4}{3}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立），
即${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，三角形中線長(zhǎng)定理的綜合應(yīng)用，三角形中線長(zhǎng)定理主要表述三角形三邊和中線長(zhǎng)度關(guān)系，定理內(nèi)容為：三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍，屬于中檔題．