Question

數(shù)列{a_n}滿足a_n-2a_n-1=n•2ⁿ（n∈N^*，n≥2），且a₁=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

an+1

an

，當(dāng)數(shù)列{b_n+λn}為遞增數(shù)列時，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意得

an

2n

-

an-1

2n-1

=n，利用累加法求得通項公式；
（2）由（1）得b_n+λn=

2n+4

n

+λn=λn+

4

n

+2，若數(shù)列{b_n+λn}為遞增數(shù)列時，則有[b_n+1+λ（n+1）]-（b_n+λn）＞0，即λ＞

4

n

-

4

n+1

=

4

n(n+1)

，又

4

n(n+1)

≤

4

1•(1+1)

=2，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a_n-2a_n-1=n•2ⁿ（n∈N^*，n≥2），
∴

an

2n

-

an-1

2n-1

=n，
∴（

a2

22

-

a1

21

）+（

a3

22

-

a2

2

）+…+（

an

2n

-

an-1

2n-1

）=2+3+4+…+n，
∴

an

2n

-

a1

2

=2+3+4+…+n，
∴

an

2n

=1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

∴a_n=2^n-1•n（n+1）．
（2）b_n=

an+1

an

=

2n•(n+1)(n+2)

2n-1•n(n+1)

=

2n+4

n

，
∴b_n+λn=

2n+4

n

+λn=λn+

4

n

+2，
∵數(shù)列{b_n+λn}為遞增數(shù)列，
∴[b_n+1+λ（n+1）]-（b_n+λn）＞0，即[λ（n+1）+

4

n+1

+2]-（λn+

4

n

+2）＞0，
即λ＞

4

n

-

4

n+1

=

4

n(n+1)

，
∵

4

n(n+1)

≤

4

1•(1+1)

=2，
∴λ＞2．
∴實數(shù)λ的取值范圍（2，+∞）．

點評：本題主要考查累加法求數(shù)列的通項公式及遞增數(shù)列的轉(zhuǎn)化劃歸思想和恒成立思想的運用能力，屬于中檔題．