Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|x-a|，g（x）=

a

x

．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＞2；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）若?t∈（0，2），?x∈R使f（x）=g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，根據(jù)一元二次不等式的解法即可解關(guān)于x的不等式f（x）＞2；
（2）討論a的取值范圍結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）求出函數(shù)的最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²+|x|＞2，
即x²+|x|-2＞0，
解得（|x|-1）（|x|+2）＞0，
即|x|-1＞0，
解得x＞1或x＜-1，
即不等式的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）當(dāng)x≥a，f（x）=x²+x-a=（x+

1

2

）²-a-

1

4

，
當(dāng)x＜a，f（x）=x²-x+a=（x-

1

2

）²+a-

1

4

，
若a≥

1

2

時(shí)，x≥a，則f（x）_min=f（a）=a²，x＜a時(shí)，f（x）_min=f（

1

2

）=a-

1

4

＜a²，∴f（x）_min=a-

1

4

．
當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，x≥a，則f（x）_min=f（a）=a²，x＜a時(shí)，f（x）＞f（a）=a²，∴f（x）_min=a²．
當(dāng)a＜-

1

2

時(shí)，x≥a，f（x）_min=f（-

1

2

）=-a-

1

4

，x＜a時(shí)，f（x）＞f（a）=a²＞-a-

1

4

＜a²，
∴f（x）_min=-a-

1

4

．
綜上，a≥

1

2

時(shí)，f（x）_min=a-

1

4

．
當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，f（x）_min=a²．
當(dāng)a＜-

1

2

時(shí)，f（x）_min=-a-

1

4

．
（3）由題意得，函數(shù)g（t），t∈（0，2）的值域包含于函數(shù)f（x）的值域，因?yàn)楹阌衒（x）＞0
則g（t）=

a

t

＞0，t∈(0，2)，則a＞0，且g（t）=

a

t

是減函數(shù)，
則g（t）＞

a

2

，
若a≥

1

2

時(shí)由

a

2

≥a-

1

4

．解得a≤

1

2

，此時(shí)a=

1

2

，
若0＜a＜

1

2

時(shí)，

a

2

≥a²，解得a＜

1

2

，
綜上0＜a≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的求解以及一元二次函數(shù)最值的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，注意求解過(guò)程中要注意分類(lèi)討論．