Question

14．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x），滿足f（mn）=f（m）+f（n）（m，n＞0），且當x＞1時，有f（x）＞0．
①求證：f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n）；
②求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
③比較f（$\frac{m+n}{2}$）與$\frac{f（m）+f（n）}{2}$的大小．

Answer 1

分析 ①利用抽象函數(shù)的關(guān)系進行遞推即可．
②根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義法進行證明即可，
③利用作差法結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進行證明即可．

解答 證明：①∵f（m）=f（n•$\frac{m}{n}$）=f（$\frac{m}{n}$）+f（n），
∴f（$\frac{m}{n}$）=f（m）-f（n）；
②任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（\frac{x_2}{x_1}）$，
∵x₁＜x₂，∴$\frac{x_2}{x_1}＞1$，
∴$f（\frac{x_2}{x_1}）＞0∴f（{x_2}）＞f（{x_1}）$，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
③f（$\frac{m+n}{2}$）-$\frac{f（m）+f（n）}{2}$=$\frac{1}{2}$f（$\frac{m+n}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（$\frac{m+n}{2}$）-$\frac{f（m）+f（n）}{2}$
=$\frac{1}{2}$（f（$\frac{m+n}{2}$）-f（m））+$\frac{1}{2}$（f（$\frac{m+n}{2}$）-f（n））
=$\frac{1}{2}$f（$\frac{m+n}{2m}$）+$\frac{1}{2}$f（$\frac{m+n}{2m}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{（m+n）^{2}}{4{m}^{2}}$），
∵$\frac{{{{（m+n）}^2}}}{{4{m^2}}}≥1∴f[\frac{{{{（m+n）}^2}}}{{4{m^2}}}]≥0$
故$f（\frac{m+n}{2}）≥$$\frac{f（m）+f（n）}{2}$．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算和推理能力．