Question

20．某大學有甲、乙兩個校區(qū)．從甲校區(qū)到乙校區(qū)有A、B兩條道路．已知開車走道路A遭遇堵車的概率為$\frac{1}{5}$；開車走道路B遭遇堵車的概率為p．現(xiàn)有張、王、李三位教授各自開車從甲校區(qū)到乙校區(qū)給學生上課，張教授、王教授走道路A，李教授走道路B，且他們是否遭遇堵車相互之間沒有影響．若三人中恰有一人遭遇堵車的概率為$\frac{2}{5}$．求：（I）走道路B遭遇堵車的概率p；
（Ⅱ）三人中遭遇堵車的人數(shù)X的概率分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （I）由題意可知：走道路A遭遇堵車的概率為$\frac{1}{5}$，不堵車的概率為$\frac{4}{5}$；開車走道路B遭遇堵車的概率為p，不堵車的概率為1-p．三人是否遭遇堵車相互之間沒有影響．可得${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$×（1-p）+$（\frac{4}{5}）^{2}•p$=$\frac{2}{5}$，解得p．
（II）由題意可得：X的可能取值為0，1，2，3．P（X=0）=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}$，P（X=1）=$\frac{2}{5}$，P（X=2）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}$，P（X=3）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$．即可堵車X的分布列與數(shù)學期望．

解答 解：（I）由題意可知：走道路A遭遇堵車的概率為$\frac{1}{5}$，不堵車的概率為$\frac{4}{5}$；
開車走道路B遭遇堵車的概率為p，不堵車的概率為1-p．三人是否遭遇堵車相互之間沒有影響．
∴${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$×（1-p）+$（\frac{4}{5}）^{2}•p$=$\frac{2}{5}$，解得p=$\frac{1}{4}$．
（II）由題意可得：X的可能取值為0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}$=$\frac{12}{25}$，P（X=1）=$\frac{2}{5}$，P（X=2）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{3}{4}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{11}{100}$，
P（X=3）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{100}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{12}{25}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{11}{100}$	$\frac{1}{100}$

∴EX=0×$\frac{12}{25}$+1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{11}{100}$+3×$\frac{1}{100}$=$\frac{13}{20}$．

點評 本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．