Question

8．如圖所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=60°．
（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）E是棱CC₁所在直線上的一點，若二面角A-B₁E-B的正弦值為$\frac{1}{2}$，求CE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AB⊥BC₁，在△CBC₁中，由余弦定理求解B₁C，然后證明BC⊥BC₁，利用直線與平面垂直的判定定理證明C₁B⊥平面ABC．
（Ⅱ）通過AB，BC，BC₁兩兩垂直．以B為原點，BC，BA，BC₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面AB₁E的一個法向量，平面的一個法向量通過向量的數(shù)量積，推出λ的方程，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：因為AB⊥平面BB₁C₁C，BC₁⊆平面BB₁C₁C，所以AB⊥BC₁，…（1分）
在△CBC₁中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=60°，
由余弦定理得：BC12=BC2+CC12-2BC•CC1•cos∠BCC1=1²+2²-2×1×2×cos60°=3，
所以B₁C=$\sqrt{3}$，…（3分）
故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC₁，…（5分）
又BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC₁兩兩垂直．以B為原點，BC，BA，BC₁所在直線
為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，則B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，$\sqrt{3}$），B1（-1，0，$\sqrt{3}$）（7分）
$\overrightarrow{C{C}_{1}}=（-1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（-1，-1，\sqrt{3}）$，令$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{C{C}_{1}}（0≤λ≤1）$，∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=（1-λ，-1，\sqrt{3}λ）$，
$\overrightarrow{CE}=（-λ，0，\sqrt{3}λ）$，
設(shè)平面AB₁E的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$．
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=（1-λ）X-Y+\sqrt{3}λ=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$，則x=$\frac{3-3λ}{2-λ}$，y=$\frac{3}{2-λ}$，
∴$\overrightarrow{n}=（\frac{3-3λ}{2-λ}，\frac{3}{2-λ}，\sqrt{3}）$，．∵AB⊥平面BB₁C₁C，$\overrightarrow{BA}$是平面的一個法向量，
|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BA}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，兩邊平方并化簡得2λ²-5λ+3=0，所以λ=1或$\frac{3}{2}$．
∴CE=CC₁=2或CE=$\frac{3}{2}$CC₁=3．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的向量求解方法，考查空間想象能力計算能力以及邏輯推理能力．