Question

18．已知平面區(qū)域Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤$\frac{1}{2}$}，曲線C：y=$\frac{1}{{x}^{2}+3x+2}$，點A為區(qū)域Ω內(nèi)任意一點，則點A落在曲線C下方的概率是（　�。�

• A． ln3-ln2
• B． 2ln3-2ln2
• C． 2ln2-ln3
• D． 4ln2-2ln3

Answer 1

分析 先利用定積分表示出點A為區(qū)域Ω內(nèi)任意一點，點A落在曲線C下方的面積，然后求出區(qū)域Ω的面積，最后根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：0≤x≤1時，y=$\frac{1}{{x}^{2}+3x+2}$＞0，且函數(shù)單調(diào)遞減，
x=0時，y=$\frac{1}{2}$，x=1時，y=$\frac{1}{6}$，點A為區(qū)域Ω內(nèi)任意一點，
則點A為區(qū)域Ω內(nèi)任意一點，點A落在曲線C下方的面積為${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{{x}^{2}+3x+2}$dx=${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{x+1}$dx-${∫}_{0}^{1}$$\frac{1}{x+2}$dx=[ln（x+1）-ln（x+2）]${|}_{0}^{1}$=2ln2-ln3，
∵區(qū)域Ω的面積為$\frac{1}{2}$，
∴所求概率為4ln2-2ln3．
故選：D．

點評 本題主要考查了利用定積分表示曲邊三角形的面積，以及幾何概型的概率公式，屬于中檔題．