Question

10．對(duì)于函數(shù)f（x）=a+$\frac{2}{{{3^x}+1}}$（a∈R）
（1）若a=-1時(shí)，證明函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并說明理由．

Answer 1

分析 （1）a=-1時(shí)，f（x）=-1+$\frac{2}{{{3^x}+1}}$，x∈R．只要證明f（-x）+f（x）=0即可．
（2）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．下面給出證明分析：?x₁＜x₂，則${3}^{{x}_{1}}$$＜{3}^{{x}_{2}}$．只要證明f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答 （1）證明：a=-1時(shí)，f（x）=-1+$\frac{2}{{{3^x}+1}}$，x∈R．
∴f（-x）+f（x）=-2+$\frac{2}{{3}^{-x}+1}$+$\frac{2}{{3}^{x}+1}$=-2+$\frac{2×{3}^{x}}{1+{3}^{x}}+\frac{2}{1+{3}^{x}}$=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．
（2）解：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
下面給出證明：?x₁＜x₂，則${3}^{{x}_{1}}$$＜{3}^{{x}_{2}}$．
則f（x₁）-f（x₂）=a+$\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}$-$（a+\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}）$
=$\frac{2（{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．