Question

7．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，過E點做EF⊥PB交PB于點F．求證：
（1）PA∥平面DEB；
（2）PB⊥平面DEF．

Answer 1

分析 （1）由題意連接AC，AC交BD于O，連接EO，則EO是中位線，證出PA∥EO，由線面平行的判定定理知PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC證出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形證出DE⊥平面PBC，則有DE⊥PB，再由條件證出PB⊥平面EFD．

解答 證明：（1）連接AC，AC交BD于O．連接EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴點O是AC的中點．
∴在△PAC中，EO是中位線，
∴PA∥EO，
∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．
（2）∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，
∴PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，可得：BC⊥平面PDC．
∵DE?平面PDC，
∴BC⊥DE．
又∵PD=DC，E是PC的中點，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．
∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．
又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．

點評 本題考查了線線、線面平行和垂直的相互轉化，通過中位線證明線線平行，再由線面平行的判定得到線面平行；垂直關系的轉化是由線面垂直的定義和判定定理實現(xiàn)，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．