Question

若f（x）在R上可導(dǎo)，
（1）求f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=-a處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；
（2）證明：若f（x）為偶函數(shù)，則f′（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義，求出f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=-a處的導(dǎo)數(shù)，比較即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的定義，求出f′（x），然后判斷其奇偶性．

解答：（1）解：設(shè)f（-x）=g（x），則
g′（a）=

lim

△x→0

g(a+△x)-g(a)

△x

=

lim

△x→0

f(-a-△x)-f(-a)

△x

=-

lim

-△x→0

f(-a-△x)-f(-a)

-△x

=-f′（-a）．
∴f（-x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=-a處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù)．
（2）證明：f′（-x）=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-f′（x）．
∴f′（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意△y中自變量的變化量應(yīng)與△x一致．