Question

17．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下的工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)預測一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為（2+$\sqrt{x}$）x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．假設(shè)需要新建n個橋墩．
（1）寫出n關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當m=640米時，需新建多少個橋墩才能使y最��？

Answer 1

分析 （1）利用兩墩相距m米，寫出n關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)題意余下工程的費用y為橋墩的總費用加上相鄰兩墩之間的橋面工程總費用即可得到y(tǒng)的解析式；
（3）把m=640米代入到y(tǒng)的解析式中并求出y′令其等于0，然后討論函數(shù)的增減性判斷函數(shù)的最小值時m的值代入$\frac{m}{x}$-1中求出橋墩個數(shù)即可．

解答 解：（1）$設(shè)需要新建n個橋墩，（n+1）x=m，即n=\frac{m}{x}-1$．…（2分）
（2）∴$y=f（x）=256n+（n+1）（2+\sqrt{x}）x=256（\frac{m}{x}-1）+\frac{m}{x}（2+\sqrt{x}）x$
=$\frac{256m}{x}+m\sqrt{x}+2m-256，（0＜x＜m）$．…（7分）
（3）由（1）知，$f'（x）=-\frac{256m}{x^2}+\frac{1}{2}m{x^{-\frac{1}{2}}}=\frac{m}{{2{x^2}}}（{x^{\frac{3}{2}}}-512）$…（8分）
令f'（x）=0，得${x^{\frac{3}{2}}}=512$，所以x=64…（9分）
當0＜x＜64時f'（x）＜0，f（x）在區(qū)間（0，64）內(nèi)為減函數(shù)；
當64＜x＜640時，f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，
所以f（x）在x=64處取得最小值，…（11分）
此時，$n=\frac{m}{x}-1=\frac{640}{64}-1=9$
故需新建9個橋墩才能使y最�。�…（13分）

點評 考查學生會根據(jù)實際問題選擇函數(shù)關(guān)系的能力，會利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性以及求函數(shù)最值的能力．