Question

（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。
（Ⅰ）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）不存在正整數(shù)，使得成立，理由見(jiàn)解析。
（Ⅲ）證明見(jiàn)解析。

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
又

∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴，……………………………3分
（II）不存在正整數(shù)，使得成立。
證明：由（I）知

∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)
∴
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)
∴
∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有
∴不存在正整數(shù)，使得成立。………………………………8分
（III）由得
又，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
 …………………14分