Question

把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第行共有個正整數(shù).設(shè)（i、j∈N*）表示位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右數(shù)第j個數(shù).

（Ⅰ）若＝2010，求i和j的值；
（Ⅱ）記N*)，試比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）i＝11,
（Ⅱ）當(dāng)，2，3時,  當(dāng)時，

（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)表中前i－1行共有個數(shù)，則第i行的第一個數(shù)是，所以                                 （2分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133650457429.gif" style="vertical-align:middle;" />，＝2010，則i－1＝10，即i＝11．             （4分）
令，則.           （5分）
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133650613462.gif" style="vertical-align:middle;" />，則N*).          （6分）
所以.
所以.      （7分）
檢驗(yàn)知，當(dāng)，2，3時，，即.      （8分）
猜想：當(dāng)時，.               （9分）
證法一：當(dāng)時,
. （12分）
綜上分析，當(dāng)時，；當(dāng)時，.   （13分）
證法二：①當(dāng)時，，所以成立. （10分）
②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即.
則.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231336517211909.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以，即當(dāng)時，猜想也正確.
由①、②得當(dāng)時, 成立.
綜上分析，當(dāng)時，；當(dāng)時，.       （13分）