Question

4．如圖所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為6的正方體，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．當A₁，E，F(xiàn)，C₁共面時，平面A₁DE與平面C₁DF所成銳二面角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA，DC，DD ₁ 所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，由題意知：當E（6，3，0），F(xiàn)（3，6，0）時，A ₁，E，F(xiàn)、C ₁ 共面，由此利用向量法能求出平面A₁DE與平面C₁DF所成銳二面角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA，DC，DD₁ 所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
由題意知：當E（6，3，0），F(xiàn)（3，6，0）時，A₁，E，F(xiàn)、C₁ 共面，
設平面A₁ DE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（6，0，6），$\overrightarrow{DE}$=（6，3，0），A₁（6，06），D（0，0，0），C₁（0，6，6），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=6a+6c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=6a+3b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-1），
設平面C₁ DF的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，6，6），$\overrightarrow{DF}$=（3，6，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=6y+6z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=3x+6y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，-1，1），
設平面A₁DE與平面C₁DF所成銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{1}{2}$，
∴平面A₁DE與平面C₁DF所成銳二面角的余弦值為$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．