Question

16．已知冪函數f（x）=x${\;}^{{n}^{2}-2n-3}$（n∈Z）的圖象與兩坐標軸都無公共點，且圖象關于y軸對稱，求n的值并根據圖象解不等式f（x）＞x²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 由條件利用冪函數的性質可得得n²-2n-3為負偶數，可得n=1，由不等式可得即x^-4＞x²⁰¹⁶，故函數f（x）的圖象應在函數y=x²⁰¹⁶的圖象的上方，數形結合求得x的范圍．

解答 解：冪函數f（x）=x${\;}^{{n}^{2}-2n-3}$（n∈Z）的圖象與兩坐標軸
都無公共點，且圖象關于y軸對稱，
可得n²-2n-3=（n-3）（n+1）＜0，
且n²-2n-3=（n-3）（n+1）為偶數，
故n=1，f（x）=$\frac{1}{{x}^{4}}$，
作出f（x）的圖象，如圖紅色部分，
再作出y=x²⁰¹⁶的圖象，如圖藍色部分，
不等式f（x）＞x²⁰¹⁶，即x^-4＞x²⁰¹⁶，
故函數f（x）的圖象應在函數y=x²⁰¹⁶的圖象的上方，
結合圖象可得-1＜x＜1，且x≠0，
故不等式的解集為 {x|-1＜x＜1且x≠0 }．

點評 本題主要考查函數的圖象特征，冪函數的圖象，屬于中檔題．