Question

已知函數(shù)f(x)=

1+x

+

1-x

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域并判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）設(shè)F(x)=m

1-x2

+f(x)，若記f（x）=t，求函數(shù)F（x）的最大值的表達(dá)式g（m）；
（3）在（2）的條件下，求滿足不等式g(-m)＞(

9

4

)m的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函根據(jù)函數(shù)成立的條件和奇偶性的定義即可求f（x）的定義域和奇偶性；
（2）根據(jù)條件件即可函數(shù)F（x）的最大值的表達(dá)式g（m）；
（3）根據(jù)不等式恒成立的條件，建立條件關(guān)系即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）有意義，須滿足

1+x≥0 1-x≥0

，得-1≤x≤1，
故函數(shù)定義域是{x|-1≤x≤1}．
∵函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(-x)=

1-x

+

1+x

=f(x)，
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）設(shè)f（x）=t，則

1-x2

=

1

2

t2-1，
∵[f(x)]2=2+2

1-x2

，0≤

1-x2

≤1
∴2≤[f（x）]²≤4，
∵f（x）≥0，∴

2

≤f(x)≤2，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="5plp9kv" class="MathJye">[

2

，2]，即t∈[

2

，2]
∴F(x)=m(

1

2

t2-1)+t=

1

2

mt2+t-m，t∈[

2

，2]，
令h(t)=

1

2

mt2+t-m，
∵拋物線y=h（t）的對稱軸為t=-

1

m

①當(dāng)m＞0時(shí)，-

1

m

＜0，函數(shù)y=h（t）在[

2

，2]上單調(diào)遞增，
∴g（m）=h（2）=m+2；
②當(dāng)m=0時(shí)，h（t）=t，g（m）=2
③當(dāng)m＜0時(shí)，-

1

m

＞0，
若0＜-

1

m

≤

2

，即m≤-

2

2

時(shí)，函數(shù)y=h（t）在[

2

，2]上單調(diào)遞減，
∴g(m)=h(

2

)=

2

；
若

2

＜-

1

m

≤2，即-

2

2

＜m≤-

1

2

時(shí)，g(m)=h(-

1

m

)=-m-

1

2m

；
若-

1

m

＞2，即-

1

2

＜m＜0時(shí)，函數(shù)y=h（t）在[

2

，2]上單調(diào)遞增，
∴g（m）=h（2）=m+2；
綜上得g(m)=

m+2，(m＞- 1 2 ) -m- 1 2m ，(- 2 2 ＜m≤- 1 2 ) 2 ．(m≤- 2 2 )

．
（3）由（2）知g(-m)=

-m+2，(m＜ 1 2 ) m+ 1 2m ，( 1 2 ≤m＜ 2 2 ) 2 ．(m≥ 2 2 )

①當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，g（-m）=-m+2單調(diào)遞減，y=(

9

4

)m單調(diào)遞增，
∴g(-m)＞-

1

2

+2=

3

2

=(

9

4

)

1

2

＞(

9

4

)m恒成立．
②當(dāng)

1

2

≤m＜

2

2

時(shí)，
∵g(-m)=m+

1

2m

，由對勾函數(shù)性質(zhì)知g（-m）在m∈[

1

2

，

2

2

]上單調(diào)遞減，
∵y=(

9

4

)m單調(diào)遞增，
∴g(-m)≤

1

2

+

1

2× 1 2

=

3

2

=(

9

4

)

1

2

≤(

9

4

)m，∴g(-m)＞(

9

4

)m恒不成立；
③當(dāng)m≥

2

2

時(shí)，g(-m)=

2

＜

3

2

=(

9

4

)

1

2

≤(

9

4

)m，∴g(-m)＞(

9

4

)m恒不成立；
綜上得滿足g(-m)＞(

9

4

)m的實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞，

1

2

)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)最值的求法以及不等式恒成立的解法，綜合性較強(qiáng)，難度較大．