【題目】已知橢圓:的中心為,一個方向向量為的直線與只有一個公共點
(1)若且點在第二象限,求點的坐標;
(2)若經過的直線與垂直,求證:點到直線的距離;
(3)若點、在橢圓上,記直線的斜率為,且為直線的一個法向量,且求的值.
【答案】(1)(2)見解析(3)9
【解析】
(1)設直線的方程為,代入橢圓方程,可得的方程,運用直線和橢圓只有一個公共點,可得,化簡整理,解方程可得的坐標;
(2)設直線,運用(1)求得到直線的距離公式,再由基本不等式可得最大值,即可得證;
(3)直線的方程為,代入橢圓方程,可得交點,求得,同樣將直線代入橢圓方程求得的坐標,可得,化簡整理即可得到所求值.
解:(1)設直線的方程為,代入橢圓方程,
可得,
直線與只有一個公共點,可得,
即有,
化簡可得,
由可得,
由點在第二象限,可得,
即為;
(2)證明:設直線,
由(1)可得,,
則點到直線的距離
,
當且僅當時,取得等號;
(3)由題意可得直線的方程為,
代入橢圓方程,可得,
即有,,
即有,
將直線的方程,代入橢圓方程可得,
,,
即有,
則.
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【題目】已知數列與滿足,.
(1)若,求數列的通項公式;
(2)若,且數列是公比等于2的等比數列,求的值,使數列也是等比數列;
(3)若,且,數列有最大值與最小值,求的取值范圍.
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【題目】
(本題滿分15分)已知m>1,直線,
橢圓,分別為橢圓的左、右焦點.
(Ⅰ)當直線過右焦點時,求直線的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓交于兩點,,
的重心分別為.若原點在以線段
為直徑的圓內,求實數的取值范圍.
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【題目】已知數列和滿足:,,且對一切,均有.
(1)求證:數列為等差數列,并求數列的通項公式;
(2)求數列的前項和;
(3)設,記數列的前項和為,求正整數,使得對任意,均有.
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【題目】如圖,等腰梯形中,,,E為CD中點,將沿AE折到的位置.
(1)證明:;
(2)當折疊過程中所得四棱錐體積取最大值時,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】高鐵是我國國家名片之一,高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示,B、E、F為山腳兩側共線的三點,在山頂A處測得這三點的俯角分別為、、,計劃沿直線BF開通穿山隧道,現已測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3、1、2.
(1)求出線段AE的長度;
(2)求出隧道CD的長度.
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【題目】等差數列首項和公差都是,記的前n項和為,等比數列各項均為正數,公比為q,記的前n項和為:
(1)寫出構成的集合A;
(2)若將中的整數項按從小到大的順序構成數列,求的一個通項公式;
(3)若q為正整數,問是否存在大于1的正整數k,使得同時為(1)中集合A的元素?若存在,寫出所有符合條件的的通項公式,若不存在,請說明理由.
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