Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=7，a₅+a₇=26，若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$（n∈N^*），則數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和S₁₀=$\frac{10}{69}$．

Answer 1

分析 利用等差中項(xiàng)及a₅+a₇=26可知a₆=13，進(jìn)而可知公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$=2，從而a_n=2n+1，進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
所以2a₆=a₅+a₇=26，即a₆=13，
又因?yàn)閍₃=7，
所以公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$=2，
所以a_n=a₃+（n-3）d=2n+1，
所以${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n+1}$•$\frac{1}{2n+3}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）（n∈N^*），
所以數(shù)列{b_n}的前10項(xiàng)和S₁₀=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{21}$-$\frac{1}{23}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{23}$）=$\frac{10}{69}$，
故答案為：$\frac{10}{69}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．