Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足：S_n+1•S_n=a_n+1，又${a_1}=\frac{2}{9}$，
（1）求證：數(shù)列$\{\frac{1}{S_n}\}$為等差數(shù)列；
（2）求a_n．

Answer 1

分析 （1）由題意，得S_n+1?S_n=S_n+1-S_n，兩邊同時除以 S_n+1?S_n 得$1=\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}$，即可證明結論；
（2）寫出S_n，即可求a_n．

解答 （1）證明：由S_n+1?S_n=a_n+1 及a_n+1=S_n+1-S_n，得S_n+1?S_n=S_n+1-S_n（n∈N₊），
若存在 S_n=0，則 a_n=S_n?S_n-1=0，從而 S_n-1=S_n-a_n=0．
以此類推知 S₁=0，矛盾，故S_n≠0（n∈N₊）．
從而兩邊同時除以 S_n+1?S_n 得$1=\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n+1}}$，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=-1（n∈{N}_{+}）$，
所以 $\left\{\frac{1}{{S}_{n}}\right\}$ 是首項為 $\frac{9}{2}$，公差為-1 的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知，$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{9}{2}-（n-1）=\frac{11}{2}-n$，
故${S}_{n}=\frac{2}{11-2n}（n∈{N}_{+}）$．
從而n≥2，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{4}{（11-2n）（13-2n）}$，
n=1，a₁=$\frac{2}{9}$，
所以${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{9}，&n=1\\ \frac{4}{（11-2n）（13-2n）}，&n≥2.\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．