已知拋物線的焦點為，點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，．
（1）求拋物線的方程；
（2） 設點是拋物線上的兩點，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時直線的方程．

（1）;（2）

解析試題分析：（1）由于點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，假設點，再通過，可得一個關于與的關系式，在結合拋物線方程即可求出．從而求得拋物線的方程．
（2）因為的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)．所以假設直線PA，聯(lián)立拋物線方程即可得到點A的坐標，類比地求出點B的坐標．結合韋達定理，可以得到直線AB的斜率為定值-1．通過假設直線AB的方程，聯(lián)立拋物線的方程，應用點到直線的距離，即可表示三角形的面積．再通過求最值即能到結論．
（1）設，因為，由拋物線的定義得，又，所以，
因此，解得，從而拋物線的方程為．
（2）由（1）知點的坐標為，因為的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)
設直線的斜率為，則，由題意，
把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，
由韋達定理得，即，同理，
所以，
設，把代入拋物線方程得，
由題意，且，從而
又，所以，點到的距離，
因此，設，
則，
由知，所以在上為增函數(shù)，因此，
即面積的最大值為．
的面積取最大值時，所以直線的方程為．
考點：1．拋物線的性質．2．函數(shù)的最值．3．等價變換．4．圓錐曲線與函數(shù)知識的交匯．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分13分）如圖，分別過橢圓：左右焦點、的動直線相交于點，與橢圓分別交于不同四點，直線的斜率、、、滿足．已知當軸重合時，，．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點，使得為定值．若存在，求出點坐標并求出此定值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標平面上給定一曲線y2=2x,
(1)設點A的坐標為,求曲線上距點A最近的點P的坐標及相應的距離|PA|.
(2)設點A的坐標為(a,0),a∈R,求曲線上的點到點A距離的最小值dmin,并寫出dmin=f(a)的函數(shù)表達式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，已知橢圓E經過點A(2,3)，對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e＝，斜率為2的直線l過點A(2,3)．

(1)求橢圓E的方程；
(2)在橢圓E上是否存在關于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的長半軸長。

（1）求，的方程；
（2）設與軸的交點為M，過坐標原點O的直線與相交于點A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.
①證明：；
②記△MAB,△MDE的面積分別是.問：是否存在直線,使得=?請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為,短軸端點分別為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若,是橢圓上關于軸對稱的兩個不同點，直線與軸交于點，判斷以線段為直徑的圓是否過點，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知點A(3,2), 點P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，求的最小值及此時P點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線（）與橢圓交于不同的兩點、，且線段 
的垂直平分線過定點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，直線與拋物線（常數(shù)）相交于不同的兩點、，且（為定值），線段的中點為，與直線平行的切線的切點為（不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點為切點）．

（1）用、表示出點、點的坐標，并證明垂直于軸；
（2）求的面積，證明的面積與、無關，只與有關；
（3）小張所在的興趣小組完成上面兩個小題后，小張連、，再作與、平行的切線，切點分別為、，小張馬上寫出了、的面積，由此小張求出了直線與拋物線圍成的面積，你認為小張能做到嗎？請你說出理由．

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