Question

某個(gè)凸多面體有32個(gè)面，各面是三角形或五邊形，每個(gè)頂點(diǎn)處的棱數(shù)都相等，則這個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)可以是　　　　　　      

 

Answer 1

答案：30或20
解析：

解：設(shè)多面體的面有n個(gè)三角形，32－n個(gè)五邊形，頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為E， 則E+2=V+32， 若每個(gè)頂點(diǎn)處有3條棱，則 E=V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(160－2n)， 代入得V+2=V+32, 解得V=60, 此時(shí)n=－10（舍去）； 若每個(gè)頂點(diǎn)處有4條棱，則 E=2V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(80－n)， 代入得2V+2=V+32, 解得V=30, 此時(shí)n=20；即有20個(gè)三角形和12個(gè)五邊形； 若每個(gè)頂點(diǎn)處有5條棱，則 E=V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(80－n)， 代入得V+2=V+32, 解得V=20, 此時(shí)n=30；即有30個(gè)三角形和2個(gè)五邊形； 若每個(gè)頂點(diǎn)處有6條棱，則 E=3V，且E=[3n+5(32－n)]=80－n, ∴ V=(80－n)， 代入得3V+2=V+32, 解得V=15, 此時(shí)n=35.(舍去)