Question

2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ABB₁是菱形，側(cè)面C₁CBB₁是矩形．
（1）D是棱B₁C₁上一點(diǎn)，AC₁∥平面A₁BD，求證：D為B₁C₁的中點(diǎn)；
（2）若A₁B⊥AC₁，求證：平面A₁ABB₁⊥平面C₁CBB₁．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AB₁交A₁B于E，連結(jié)DE，由AC₁∥平面A₁BD可得AC₁∥DE，由E為AB₁的中點(diǎn)即可得出D是B₁C₁的中點(diǎn)；
（2）證明A₁B⊥平面AB₁C₁，得出A₁B⊥B₁C₁，再結(jié)合B₁C₁⊥BB₁得出B₁C₁⊥平面A₁ABB₁，于是平面A₁ABB₁⊥平面C₁CBB₁．

解答 證明：（1）連結(jié)AB₁交A₁B于E，連結(jié)DE．
∵AC₁∥平面A₁BD，AC₁?平面AB₁C₁，平面AB₁C₁∩平面A₁BD=DE，
∴AC₁∥DE，
∵側(cè)面A₁ABB₁是菱形，∴E是AB₁的中點(diǎn)，
∴D是B₁C₁的中點(diǎn)．
（2）∵側(cè)面A₁ABB₁是菱形，∴AB₁⊥A₁B，
又A₁B⊥AC₁，AB₁∩AC₁=A，AB₁?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，
∴A₁B⊥平面AB₁C₁，又B₁C₁?平面AB₁C₁，
∴A₁B⊥B₁C₁，
∵側(cè)面C₁CBB₁是矩形，∴B₁C₁⊥BB₁，
又BB₁∩A₁B=B，BB₁?平面A₁ABB₁，A₁B?平面A₁ABB₁，
∴B₁C₁⊥平面A₁ABB₁．
∵B₁C₁?平面C₁CBB₁，
∴平面A₁ABB₁⊥平面C₁CBB₁．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的性質(zhì)，面面垂直的判定，屬于中檔題．