Question

13．四棱錐P-ABCD，側(cè)面PCD為邊長為2的正三角形，底面ABCD為對角線互相垂直的等腰梯形，M為AD的中點，$PO=\sqrt{2}$． 
（Ⅰ）求證：PM⊥BC；
（Ⅱ）若△PAB的面積為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，求三棱錐C-PAB的體積．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理逆定理得出OP⊥OC，OP⊥OD，故而OP⊥平面ABCD，建立空間坐標系，設(shè)OA=a，求出$\overrightarrow{MP}$和$\overrightarrow{BC}$的坐標，利用數(shù)量積證明PM⊥BC；
（II）根據(jù)△PAB的面積計算OA，從而得出O到AB的距離，進而計算出梯形的高，代入棱錐的體積公式計算即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∵CD=2，∴OC=$\sqrt{2}$，
又PO=$\sqrt{2}$，PC=2，
∴PO⊥OC，
同理PO⊥OD，又OC∩OD=O，
∴PO⊥平面ABCD，
以O(shè)為原點，以O(shè)D，OC，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
設(shè)OA=OB=a，則A（0，-a，0），B（-a，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），D（$\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），
∵M是AD的中點，∴M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{a}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{MP}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{a}{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（a，$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+0=0，
∴MP⊥BC．
（Ⅱ）解：∵△POA≌△POB，∴PA=PB，
取AB的中點E，CD的中點F，連結(jié)OE，OF，PE，則PE⊥AB，
∵△OAB是等腰直角三角形，OA=OB=a，
∴AB=$\sqrt{2}$a，OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴PE=$\sqrt{P{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{2+\frac{{a}^{2}}{2}}$，∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2+\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得a=1，∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AB=$\sqrt{2}$，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∴O，E，F(xiàn)三點共線，
又OF=$\frac{1}{2}$CD=1，∴EF=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
∴V_C-PAB=V_P-ABC=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}+2}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，空間向量與垂直證明，棱錐的體積計算，屬于中檔題．