【題目】已知拋物線x2=2py上點(diǎn)(2,2)處的切線經(jīng)過橢圓 的兩個頂點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程;
(2)過橢圓E的上頂點(diǎn)A的兩條斜率之積為﹣4的直線與該橢圓交于B,C兩點(diǎn),是否存在一點(diǎn)D,使得直線BC恒過該點(diǎn)?若存在,請求出定點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的條件下,若△ABC的重心為G,當(dāng)邊BC的端點(diǎn)在橢圓E上運(yùn)動時,求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范圍.

【答案】
(1)解:把(2,2)代入拋物線方程x2=2py,得22=2p×2,解得p=1,

∴拋物線的方程為x2=2y;

∴y′=x,∴拋物線x2=2y在點(diǎn)(2,2)處的切線的斜率為y′|x=2=2,

∴拋物線在點(diǎn)(2,2)處的切線方程為y﹣2=2(x﹣2),化為y=2x﹣2.

它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(1,0),(0,﹣2),由題意可得a=2,b=1.

∴橢圓的方程為


(2)解:假設(shè)直線BC恒過定點(diǎn)D,由題意可知直線BC的斜率必存在,故可設(shè)直線BC的方程為y=kx+m(m≠2).

設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2).由(1)知A(0,2).

聯(lián)立 消去y得到(k2+4)x2+2kmx+m2﹣4=0,

由△>0,得(2km)2﹣4(k2+4)(m2﹣4)>0,化為k2﹣m2+4>0.

,

∴kABkAC=

=

=

=

=

= =

由題意可得 ,解得m=0,滿足△>0.

∴直線BC的方程為y=kx,直線BC恒過定點(diǎn)D(0,0)


(3)解:由(2)可知:原點(diǎn)(0,0)在直線BC上,

由橢圓的對稱性可知AO為△ABC的邊BC上的中線,由|AG|=2|GO|和A(0,2),得G點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴|GA|2+|GB|2+|GC|2= + = = =

不妨設(shè)點(diǎn)C在y軸的右側(cè),則x2∈(0,1].

,即求|GA|2+|GB|2+|GC|2的取值范圍是


【解析】(1)把(2,2)代入拋物線方程x2=2py,即可得到p,即可得到拋物線的方程.利用導(dǎo)數(shù)即可得到切線的斜率,利用點(diǎn)斜式即可得到切線方程,即可求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),即可得到a,b.可得橢圓的方程.(2)假設(shè)直線BC恒過定點(diǎn)D,由題意可知直線BC的斜率必存在,故可設(shè)直線BC的方程為y=kx+m(m≠2).
設(shè)(x1 , y1),C(x2 , y2).由(1)知A(0,2).把直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得△>0及根與系數(shù)的關(guān)系,再利用kABkAC= 即可得出m.進(jìn)而可得答案.(3)利用橢圓的性質(zhì)和三角形的重心性質(zhì)即可得出.

練習(xí)冊系列答案
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(2)若將頻率視為概率,某人在該購物平臺上進(jìn)行的3次購物中,設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機(jī)變量

求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)的分布列;

的數(shù)學(xué)期望和方差.

,其中

對服務(wù)好評

對服務(wù)不滿意

合計

對商品好評

140

對商品不滿意

10

合計

200

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