Question

7．就實數a的取值范圍，討論關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸的交點個數．

Answer 1

分析 利用倍角公式化余弦為正弦，令t=sinx換元后化為關于t的一元二次函數，結合一元二次方程根的分別分類討論得答案．

解答 解：y=cos2x+2sinx+2a-3=-2sin²x+2sinx+2a-2，
令t=sinx（-1≤t≤1），
則函數化為f（t）=-2t²+2t+2a-2．
對稱軸方程為t=$\frac{1}{2}$．
若△=4+8（2a-2）＜0，即a$＜\frac{3}{4}$，
函數f（t）無零點，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸無交點；
若△=4+8（2a-2）=0，即a=$\frac{3}{4}$，
函數f（t）=$-2{t}^{2}+2t-\frac{1}{2}$，零點為$\frac{1}{2}$．
由sinx=$\frac{1}{2}$，可得x=$\frac{π}{6}$，或x=$\frac{5π}{6}$，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有兩個交點；
若△=4+8（2a-2）＞0，且f（0）=2a-2＜0，即$\frac{3}{4}$＜a＜1，
函數f（t）有兩個大于0小于1的零點，即sinx有兩個不等正根，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有四個交點；
若△=4+8（2a-2）＞0，且f（0）=2a-2=0，即a=1，函數f（t）的兩個零點為0，1．
由sinx=0，sinx=1，可得關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有三個交點；
若f（0）=2a-2＞0，且f（-1）=2a-6＜0，即1＜a＜3，f（t）有一零點為負數，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有兩個交點；
若f（-1）=0，即a=3，f（t）有一零點-1，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有一個交點；
若f（-1）＞0，即a＞3，f（t）在[-1，1]內無零點，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸無交點．
綜上，當a＜$\frac{3}{4}$或a＞3時，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸無交點；
當a=3時，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有一個交點；
當a=$\frac{3}{4}$或1＜a＜3時，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有兩個交點；
當a=1時，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有三個交點；
當$\frac{3}{4}$＜a＜1時，關于x的函數y=cos2x+2sinx+2a-3，x∈[0，2π]與x軸有四個交點．

點評 本題考查函數零點判定定理，考查分類討論的數學思想方法，訓練了一元二次方程根的分別及其應用，是中檔題．