【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè),若對(duì)一切正整數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;.

(3)是否存在正整數(shù),使得。成等比數(shù)列?若存在,求出所有的;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2;(3)不存在.

【解析】

1)由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出數(shù)列的前項(xiàng)和;

2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),設(shè),,求出,進(jìn)而求出;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),設(shè),,求出,進(jìn)而求出,由此能求出的取值范圍;

3)假設(shè)存在正整數(shù),使得,成等比數(shù)列,由此利用已知條件推導(dǎo)出等式不成立,從而得到不存在正整數(shù),使得,成等比數(shù)列.

1)設(shè)數(shù)列的公差為

,

,解得,,

;

2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí):,不等式

分離參數(shù)得到研究右邊函數(shù)性質(zhì),

此為單調(diào)遞增,所以

當(dāng)為奇數(shù)時(shí):,不等式

,從而

綜上:

3)假設(shè)存在正整數(shù),(),使得/span>,,成等比數(shù)列,
,即,

,即,

.

,,∴

是整數(shù),等式不成立,

故不存在正整,使得,成等比數(shù)列.

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