Question

11．如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交
⊙O于N，過點N的切線交CA的延長線于P．
（Ⅰ）求證：$\frac{PM}{PA}$=$\frac{PC}{PN}$；
（Ⅱ）若⊙O的半徑為2$\sqrt{3}$，OA=$\sqrt{3}$OM，求MN的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結ON，運用切線的性質和切割線定理，結合等腰三角形的性質，即可得證；
（Ⅱ）延長BO交⊙于點D，連結DN，證得△BOM～△BND，可得對應邊成比例，結合勾股定理，計算即可得到所求值．

解答 （Ⅰ）證明：連結ON，則ON⊥PN，且△OBN為等腰三角形，
則∠OBN=∠ONB，
∵∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN，∠PNM=90°-∠ONB，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN．　
由條件，根據(jù)切割線定理，有PN²=PA•PC，
所以PM²=PA•PC． 所以$\frac{PM}{PA}$=$\frac{PC}{PN}$；
（Ⅱ）解：OA=$\sqrt{3}$OM=$\sqrt{3}$，
∴OM=1，在Rt△BOM中，BM=$\sqrt{O{B}^{2}+O{M}^{2}}$=2．
延長BO交⊙于點D，連結DN，
可得∠BND=∠BOM，∠OBM=∠NBD，
則△BOM～△BND，
于是$\frac{BO}{BN}=\frac{BM}{BD}$，則$\frac{\sqrt{3}}{BN}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$，
∴BN=3，
∴MN=BN-BM=1．

點評 本題考查三角形相似的判定和性質的運用，考查圓的切割線定理和直角三角形的勾股定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．