【題目】已知是直線上任意一點,過,線段的垂直平分線交于點.

(Ⅰ)求點的軌跡對應(yīng)的方程;

(Ⅱ)過點的直線與點的軌跡相交于兩點,( 點在軸上方),點關(guān)于軸的對稱點為,且,求的外接圓的方程.

【答案】(1)(2)

【解析】試題分析:(Ⅰ)本問考查軌跡方程的求法,根據(jù)題畫出圖形輔助分析,觀察圖形可知,恒有,根據(jù)定義到定點與定直線距離相等的點軌跡為拋物線,因此點的軌跡是以為焦點,以為準線的拋物線,可以求出相應(yīng)的方程為;(Ⅱ)本問重點考查直線與拋物線問題,分析題意可知,過點的直線斜率顯然存在且不為0,所以可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,消去未知數(shù),得到關(guān)于的一元二次方程,需要考慮到的條件有判別式,韋達定理,然后根據(jù),轉(zhuǎn)化為,通過坐標表示,于是可以求出的值,這樣就得到了直線的方程,接下來需要確定的外接圓圓心和半徑,線段, 垂直平分線的交點即為圓心,在根據(jù)弦長公式確定半徑即可,于是得到外接圓方程.

試題解析:(Ⅰ)連接,由于是線段垂直平分線上的點,則,即到點的距離和到直線的距離相等、所以點的軌跡是以為焦點, 為準線的拋物線.

其中

所以點的軌跡對應(yīng)的方程為.

(Ⅱ)設(shè), , , 的方程為.

代入并整理得

,由,

從而 ,

.

因為,

,解得

所以的方程為,

設(shè)中點為,

, ,

中垂線方程.

,圓心坐標,到的距離為.

,

所以圓的半徑

的外接圓的方程.

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