Question

16．如圖，正方形ADMN與矩形ABCD所在平面互相垂直 AB=6，AD=3
（Ⅰ）若點E是AB的中點，求證：BM∥平面NDE；
（Ⅱ）若BE=2EA，求三棱錐M-DEN的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AM，交ND于F，連接EF，推導出EF∥BM，由此能證明BM∥平面NDE．
（Ⅱ）當BE=2EA時，EA=$\frac{1}{3}$AB=2，三棱錐M-DEN的體積VM-DEN=VE-NDM，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）連接AM，交ND于F，連接EF，由正方形ADMN，得AF=FM，又AE=EB，
∴EF∥BM．
∵BM?平面NDE，EF?平面NDE，
∴BM∥平面NDE．
解：（Ⅱ）當BE=2EA時，EA=$\frac{1}{3}$AB=2，
∵AB⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，
平面ADMN∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面ADMN．
∴三棱錐M-DEN的體積：
VM-DEN=VE-NDM=$\frac{1}{3}×AE×{S}_{△DNM}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×{3}^{2}$=3．

點評 本題考查線面平行的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．