Question

19．已知平面上兩點A（-2，0），B（2，0），在圓C：（x-1）²+（y+1）²=4上取一點P，求使|AP|²+|BP|²取得最小值時點P的坐標(biāo)，取得最大值時點P的坐標(biāo)，并求出最大、最小值．

Answer 1

分析 將圓的方程化為參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)方程設(shè)出P的坐標(biāo)為（1+2cosθ，-1+2sinθ），再由A和B的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BP}$的坐標(biāo)，可得|AP|²+|BP|²，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域即可得出所求式子的最值，以及此時θ的值，即可確定出此時P的坐標(biāo)．

解答 解：圓C：（x-1）²+（y+1）²=4的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2cosθ}\\{y=-1+2sinθ}\end{array}\right.$，
設(shè)點P的坐標(biāo)（1+2cosθ，-1+2sinθ），
∵A（-2，0），B（2，0），
∴$\overrightarrow{AP}=（3+2cosθ，-1+2sinθ）$，$\overrightarrow{BP}=（-1+2cosθ，-1+2sinθ）$，
∴|AP|²+|BP|²=（3+2cosθ）²+（-1+2sinθ）²+（-1+2cosθ）²+（-1+2sinθ）²
=-8sinθ+8cosθ+20=$-8\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）+20$．
∴當(dāng)sin（$θ-\frac{π}{4}$）=1，即$θ-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$，$θ=\frac{3π}{4}+2kπ，k∈Z$時，|AP|²+|BP|²取得最小值20-$8\sqrt{2}$．
此時P（1+2cosθ，-1+2sinθ）=（1-$\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$）；
當(dāng)sin（$θ-\frac{π}{4}$）=-1，即$θ-\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}+2kπ$，$θ=-\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$時，|AP|²+|BP|²取得最大值$20+8\sqrt{2}$．
此時P（1+2cosθ，-1+2sinθ）=（1+$\sqrt{2}$，-1-$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，圓的參數(shù)方程，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及兩點間的距離公式，熟練掌握公式是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．