Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+m（x²-x），m∈R．
（Ⅰ）當m=-1時，求函數(shù)f（x）的最值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有極值點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當m=-1時，求出函數(shù)的導數(shù)判斷導函數(shù)的符號，然后求解函數(shù)的最值．
（Ⅱ）令$f'（x）=\frac{{2m{x^2}-mx+1}}{x}$，x∈（0，+∞），通過當m=0時，當m＞0時，①若0＜m≤8，②若m＞8時分別判斷導函數(shù)的符號，求出函數(shù)的極值求解a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當m=-1時，$f'（x）=\frac{1}{x}-（2x-1）=-\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=-\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，x∈（0，+∞），
當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，也是最大值，且f（x）_max=f（1）=0．
（Ⅱ）令$f'（x）=\frac{{2m{x^2}-mx+1}}{x}$，x∈（0，+∞），
當m=0時，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上遞增，無極值點；
當m＞0時，設(shè)g（x）=2mx²-mx+1，△=m²-8m．
①若0＜m≤8，△≤0，f'（x）≥0，函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上遞增，無極值點；
②若m＞8時，△＞0，設(shè)方程2mx²-mx+1=0的兩個根為x₁，x₂（不妨設(shè)x₁＜x₂），
因為${x_1}+{x_2}=\frac{1}{2}$，g（0）=1＞0，所以$0＜{x_1}＜\frac{1}{4}$，${x_2}＞\frac{1}{4}$，
所以當x∈（0，x₁），f'（x）＞0，函數(shù)f（x）遞增；
當x∈（x₁，x₂），f'（x）＜0，函數(shù)f（x）遞減；
當x∈（x₂，+∞），f'（x）＞0，函數(shù)f（x）遞增；
因此函數(shù)有兩個極值點．
當m＜0時，△＞0，由g（0）=1＞0，可得x₁＜0，
所以當x∈（0，x₂），f'（x）＞0，函數(shù)f（x）遞增；
當x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）遞減；
因此函數(shù)有一個極值點．
綜上，函數(shù)有一個極值時m＜0；函數(shù)有兩個極值點時m＞8．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想的應用，考查計算能力．