Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=2，a₂=6，且a_n+2-2a_n+1+a_n=2，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.6]=0，[1.2]=1，則$[{\frac{m}{a_1}+\frac{m}{a_2}+…+\frac{m}{a_m}}]$的值用m表示為m-1．

Answer 1

分析 構(gòu)造b_n=a_n+1-a_n，則b₁=a₂-a₁=4，由題意可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=b_n+1-b_n=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得b_n，利用“累加求和”方法可得a_n．進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：構(gòu)造b_n=a_n+1-a_n，則b₁=a₂-a₁=4，
由題意可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=b_n+1-b_n=2，
故數(shù)列{b_n}是4為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，
故b_n=a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2，
故a₂-a₁=4，a₃-a₂=6，a₄-a₃=8，…，a_n-a_n-1=2n，
以上n-1個(gè)式子相加可得a_n-a₁=$\frac{（n-1）（4+2n）}{2}$，解得a_n=n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
則$[{\frac{m}{a_1}+\frac{m}{a_2}+…+\frac{m}{a_m}}]$=$[m（1-\frac{1}{m+1}）]$=$[m-1+\frac{1}{m+1}]$=m-1．
故答案為：m-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”方法、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．