Question

某教育主管部門(mén)到一所中學(xué)檢查學(xué)生的體質(zhì)健康情況．從全體學(xué)生中，隨機(jī)抽取12名進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)
試，測(cè)試成績(jī)（百分制）以莖葉圖形式表示如下：根據(jù)學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，成績(jī)不低于76的為優(yōu)良．

	成績(jī)
5	2
6	5
7	2	8
8	6	6	6	7	7	8
9	0	8

（Ⅰ）將頻率視為概率．根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，在該校學(xué)生中任選3人進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，求至多有1人成績(jī)是“優(yōu)良”的概率；
（Ⅱ）從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記ξ表示成績(jī)“優(yōu)良”的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意知從該校學(xué)生中任選1人，成績(jī)是“優(yōu)良”的概率是

3

4

，由此能求出在該校學(xué)生中任選3人，至多有1人成績(jī)是優(yōu)良的概率．
（Ⅱ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答： 解：（Ⅰ）從該校學(xué)生中任選1人，成績(jī)是“優(yōu)良”的概率是

3

4

，
設(shè)“在該校學(xué)生中任選3人，至多有1人成績(jī)是‘優(yōu)良’的事件”為A，
則P（A）=

C

0 3

(1-

3

4

)3+

C

1 3

(1-

3

4

)2•

3

4

=

5

32

．（6分）
（Ⅱ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 3

C 3 12

=

1

220

，P（ξ=1）=

C 1 9 C 2 3

C 3 12

=

27

220

，
P（ξ=2）=

C 2 9 C 1 3

C 3 12

=

27

55

，P（ξ=3）=

C 3 9

C 3 12

=

21

55

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 220	27 220	27 55	21 55

Eξ=0×

1

220

+1×

27

220

+2×

27

55

+3×

21

55

=

9

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．