Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），設函數(shù)y=[f（x）]²+p•f（x）+q的零點所組成的集合為A，則以下集合不可能是A集合的序號為②④．
①$\left\{{\sqrt{2}，\sqrt{3}}\right\}$
②$\left\{{\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}}\right\}$
③{-2，3，8}
④{-4，-1，0，2}
⑤{1，3，5，7}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的對稱性，可得到方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的根，應關于對稱軸x=-$\frac{2a}$對稱，分別進行判斷，即得答案．

解答 解：f（x）=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$，
設函數(shù)y=[f（x）]²+p•f（x）+q的零點為y₁，y₂，
則必有y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，
方程y₁=ax²+bx+c的兩個解x₁，x₂要關于直線x=-$\frac{2a}$對稱，
也就是說2（x₁+x₂）=-$\frac{a}$，
同理方程y₂=ax²+bx+c的兩個解x₃，x₄也要關于直線x=-$\frac{2a}$對稱
那就得到2（x₃+x₄）=-$\frac{a}$，
①$\left\{{\sqrt{2}，\sqrt{3}}\right\}$可以找到對稱軸直線x=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$
②$\left\{{\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}}\right\}$不能找到對稱軸直線，
③{-2，3，8}可以找到對稱軸直線x=3，
④{-4，-1，0，2}不能找到對稱軸直線，
⑤{1，3，5，7}可以找到對稱軸直線x=4，
故答案為：②④．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)在高中已經(jīng)作為一個工具來解決有關問題，在解決不等式、求最值時用途很大．