Question

若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

a

24

對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．

Answer 1

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，通過n=1，假設(shè)n=k時(shí)等式成立，證明n=k+1時(shí)等式也成立，即可證明結(jié)果．

解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

3+1

＞

a

24

，即

26

24

＞

a

24

，所以a＜26．
而a是正整數(shù)，所以取a=25，…（4分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證；…（5分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

．…（7分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3(k+1)+1

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞

25

24

+

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

．                                …（9分）
因?yàn)?span id="yqy6oog" class="MathJye">

1

3k+2

+

1

3k+4

=

6(k+1)

9k2+18k+8

＞

2

3(k+1)

，
所以

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

＞0．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．                  …（12分）
由（1）（2）知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

；…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明等式的步驟，注意證明n=k+1時(shí)必須用上假設(shè)，注意證明的方法，考查計(jì)算能力．