若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
a
24
對一切正整數(shù)n都成立，
（1）猜想正整數(shù)a的最大值，
（2）并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．
分析：（1）首先求出n=1時，一個不等式猜想a的最大值．
（2）直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，通過n=1，假設(shè)n=k時猜想成立，證明n=k+1時猜想也成立，即可證明結(jié)果．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時，
1
1+1
+
1
1+2
+
1
3+1
＞
a
24
，即
26
24
＞
a
24
，
所以a＜26，
a是正整數(shù)，所以猜想a=25．
（2）下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
25
24
，
①當(dāng)n=1時，已證；
②假設(shè)n=k時，不等式成立，即
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k+1
＞
25
24
，
則當(dāng)n=k+1時，
有
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
3(k+1)+1

=
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
1
k+1

＞
25
24
+[
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
2
3(k+1)
]
因為
1
3k+2
+
1
3k+4
=
6(k+1)
9k2+18k+8
 ＞
2
3(k+1)

所以
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
2
3(k+1)
＞0，
所以當(dāng)n=k+1時不等式也成立．
由①②知，對一切正整數(shù)n，都有
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
25
24
，
所以a的最大值等于25．…（14分）
點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的步驟，注意證明n=k+1時必須用上假設(shè)，注意證明的方法，考查計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c滿足：f（1）=3，且f（x）在R上為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n
n
)，若不等式
mn
Sn
＜
mn+1
Sn+1
對n∈N+恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若數(shù)列{an}，{bn}滿足：a1=1，an+1=
f(an)
2f(an)+3
；b1=1，bn+1-bn=
1
an
，記g(n)=
1
a
n，(n為奇數(shù))
bn，(n為偶數(shù))
，問是否存在k∈N，使g（k+1）=2g（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求證：
b2-ac
a
＜
3
；
（2）若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
a
24
對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明此時的不等式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
a
24
對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}中，已知a1=1，n≥2時，an=
1
3
an-1+
2
3n-1
-
2
3
．?dāng)?shù)列{bn}滿足：bn=3n-1(an+1)(n∈N*)．
（1）證明：{bn}為等差數(shù)列，并求{bn}的通項公式；
（2）記數(shù)列{
an+1
n
}的前n項和為Sn，若不等式
Sn-m
Sn+1-m
＜
3m
3m+1
成立（m，n為正整數(shù)）．求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對（m，n）．

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同步練習(xí)冊答案