Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁的中點．
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的正弦值；
（3）求點C到平面A₁BD的距離．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關的立體幾何綜合題,點、線、面間的距離計算

專題：計算題,空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（1）取BC中點O，連接AO． 可由面面垂直的性質(zhì)得到AO⊥平面B₁C₁CB，令B₁C₁中點為O₁，以0為原點，OB，OO₁，OA的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，通過向量的數(shù)量積為0，進而由線面垂直的判定定理得到AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求出平面AA₁D的法向量，結(jié)合（1）中結(jié)論為平面A₁BD的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角A-A₁D-B的余弦值；
（3）由（1）中為平面A₁BD的法向量，求出向量的坐標，代入點到平面的距離公式求解，可得點C到平面A₁BD的距離．

解答： 解：（1）取BC中點O，連接AO． 
∴△ABC為正三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面B₁C₁CB，
∴AO⊥平面B₁C₁CB，
取B₁C₁中點O₁，以0為原點，OB，OO₁，OA的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，
則B（1，0，0），D（-1，1，0），A₁（0，2，

3

），A（0，0，

3

），B₁（1，2，0），
∴

AB1

=（1，2，-

3

），

BD

=（-2，1，0），

BA1

=（-1，2，

3

）．
∵

AB1

•

BD

=-2+2=0，

AB1

•

BA1

=-1+4-3=0
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

∴AB₁⊥平面A₁BD；
（2）設平面AA₁D的法向量為

m

=（x，y，z）．
∵

AD

=（-1，1，-

3

），

AA1

=（0，2，0）．

m

⊥

AD

，

m

⊥

AA1

，
∴

m • AD =0 m • AA1 =0

，即

-x+y- 3 z=0 2y=0

，令z=1得

m

=（-

3

，0，1）
由（1）知AB₁⊥平面A₁BD，
∴

AB1

為平面A₁BD的法向量．
∴cos＜

n

，

AB1

＞=

- 3 +0- 3

2×2 2

=-

6

4

∴二面角A-A₁D-B的余弦值為-

6

4

．
二面角A-A₁D-B的正弦值為：

10

4

．
（3）由（2），

AB1

為平面A₁BD的法向量，
又∵

BC

=（-2，0，0），

AB1

=（1，2，-

3

），．
∴點C到平面A₁BD的距離d=

| BC • AB1 |

| AB1 |

=

|-2|

2 2

=

2

2

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，直線與平面垂直的判定，點到平面的距離，其中建立空間坐標系，將空間線面關系，夾角問題轉(zhuǎn)化為向量問題是解答的關鍵．