Question

（2013•珠海二模）已知函數(shù)f(x)=

x2-ax+1 4x-4×2x-a

，

x≥a x＜a

，
（1）若x＜a時，f（x）＜1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a≥-4時，函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上有最小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令2^x=t，則有0＜t＜2^a，f（x）＜1當x＜a時恒成立，可轉(zhuǎn)化為t2-4×

t

2a

＜1，分離參數(shù)可得

4

2a

＞t-

1

t

在t∈（0，2^a）上恒成立，求出右邊的最值，即可得到結(jié)論；
（2）當x≥a時，f（x）=x²-ax+1，利用配方法，分類討論，可求函數(shù)的最小值；當x＜a時，f（x）=4^x-4×2^x-a，令2^x=t，t∈（0，2^a），利用配方法，分類討論，可求函數(shù)的最小值，從而可得函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上有最小值時，實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）因為x＜a時，f（x）=4^x-4×2^x-a，所以令2^x=t，則有0＜t＜2^a，
所以f（x）＜1當x＜a時恒成立，可轉(zhuǎn)化為t2-4×

t

2a

＜1，
即

4

2a

＞t-

1

t

在t∈（0，2^a）上恒成立，--------------------------------------（2分）．
令g(t)=t-

1

t

，t∈(0，2a)，則g′(t)=1+

1

t2

＞0，------------------------------（3分）．
所以g(t)=t-

1

t

在（0，2^a）上單調(diào)遞增，-------------（4分）．
所以g(t)＜g(2a)=2a-

1

2a

，所以有：

4

2a

≥2a-

1

2a

．
所以

5

2a

≥2a，所以（2^a）²≤5，所以2a≤

5

-----------------------------------------（5分）．
所以a≤log2

5

．----------------------------（6分）．
（2）當x≥a時，f（x）=x²-ax+1，即f(x)=(x-

a

2

)2+1-

a2

4

，----------（7分）．
①當

a

2

≤a，∴a≥0時，此時對稱軸在區(qū)間左側(cè)，開口向上，所以f（x）在[a，+∞）單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（a）=1；-------------------------------------------------（8分）．
②當

a

2

＞a，∴-4≤a＜0時，此時對稱軸在區(qū)間內(nèi)，開口向上，所以f（x）在[a，

a

2

)單調(diào)遞減，在(

a

2

，+∞)單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(

a

2

)=1-

a2

4

．
所以由①②可得：當x≥a時有：f(x)min=

1- a2 4 ，-4≤a＜0 1，a≥0

．---------------------（9分）．
當x＜a時，f（x）=4^x-4×2^x-a，令2^x=t，t∈（0，2^a），則h(t)=t2-

4

2a

t=(t-

2

2a

)2-

4

4a

，
③當0＜

2

2a

＜2a，∴2^2a＞2，∴a＞

1

2

時，h（t）在(0，

2

2a

)單調(diào)遞減，在(

2

2a

，2a)上單調(diào)遞增h(t)min=h(

2

2a

)=-

4

4a

；---------------------------------------（10分）．
④當

2

2a

≥2a，∴2^2a≤2，∴a≤

1

2

時，h（t）在（0，2^a）單調(diào)遞減，h（t）∈（h（2^a），h（0））=（4^a-4，0）
所以，此時，h（t）在（0，2^a）上無最小值；---------------------------------------------（11分）．
所以由③④可得當x＜a時有：當a＞

1

2

時，f(x)min=h(t)min=-

4

4a

；
當a≤

1

2

時，無最小值．------------------------------（12分）．
所以，由①②③④可得：
當a＞

1

2

時，因為-

4

4a

＜1，所以函數(shù)f(x)min=-

4

4a

；---------------------------（13分）．
當0≤a≤

1

2

時，因為4^a-4＜0＜1，函數(shù)f（x）無最小值；--------------------------------（14分）．
當-4≤a＜0時，4a-4＜-3≤1-

a2

4

，函數(shù)f（x）無最小值．-------------------------（15分）．
綜上所述，當a＞

1

2

時，函數(shù)f（x）有最小值為-

4

4a

；當-4≤a≤

1

2

時，函數(shù)f（x）無最小值．
所以函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上有最小值時，實數(shù)a的取值范圍為(

1

2

，+∞)．---------（16分）．

點評：本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的最值，考查配方法的運用，考查分離參數(shù)法，屬于中檔題．