Question

7．已知直線l過點(diǎn)P（1，1），傾斜角為α，曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=\sqrt{2}sinβ\end{array}\right.$（β為參數(shù)）．
（1）求直線l的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)（從左往右），且AP=3PB，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義得出直線l的參數(shù)方程，消去參數(shù)得出曲線C的普通方程；
（2）聯(lián)立方程組，得出A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)AP=3PB列方程求出tanα即可．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1得：（cos²α+2sin²α）t²+2（cosα+2sinα）t-1=0，
設(shè)A，B對(duì)于的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁=-3t₂，
∴t₁+t₂=$\frac{-2（cosα+2sinα）}{1+si{n}^{2}α}$=-2t₂，t₁t₂=$\frac{-1}{1+si{n}^{2}α}$=-3t₂²，
∴3（$\frac{cosα+2sinα}{1+si{n}^{2}α}$）²=$\frac{1}{1+si{n}^{2}α}$，
化簡(jiǎn)得：5sin²α+6sinαcosα+cos²α=0，解得tanα=-1或tanα=-$\frac{1}{5}$．
∴直線l的斜率為-$\frac{1}{5}$或-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于中檔題．