【題目】已知函數(shù),.
(1)設,求的最小值;
(2)證明:當時,總存在兩條直線與曲線與都相切.
【答案】(1) x=-1時,F(x)取得最小值F(-1)=- (2) 見解析
【解析】試題分析:(1)對函數(shù)求導,研究函數(shù)的單調(diào)性,得到最小值;(2)根據(jù)公切線的定義得到(t-1)et-1-t+a=0有兩個根即可,研究這個函數(shù)的單調(diào)性和圖像,得到這個圖像和x軸有兩個交點.
解析:
(Ⅰ)F(x)=(x+1)ex-1,
當x<-1時,F(x)<0,F(x)單調(diào)遞減;
當x>-1時,F(x)>0,F(x)單調(diào)遞增,
故x=-1時,F(x)取得最小值F(-1)=-.
(Ⅱ)因為f(x)=ex-1,
所以f(x)=ex-1在點(t,et-1)處的切線為y=et-1x+(1-t)et-1;
因為g(x)=,
所以g(x)=lnx+a在點(m,lnm+a)處的切線為y=x+lnm+a-1,
由題意可得則(t-1)et-1-t+a=0.
令h(t)=(t-1)et-1-t+a,則h(t)=tet-1-1
由(Ⅰ)得t<-1時,h(t)單調(diào)遞減,且h(t)<0;
當t>-1時,h(t)單調(diào)遞增,又h(1)=0,t<1時,h(t)<0,
所以,當t<1時,h(t)<0,h(t)單調(diào)遞減;
當t>1時,h(t)>0,h(t)單調(diào)遞增.
由(Ⅰ)得h(a-1)=(a-2)ea-2+1≥-+1>0,
又h(3-a)=(2-a)e2-a+2a-3>(2-a)(3-a)+2a-3=(a-)2+>0,
h(1)=a-1<0,所以函數(shù)y=h(t)在(a-1,1)和(1,3-a)內(nèi)各有一個零點,
故當a<1時,存在兩條直線與曲線f(x)與g(x)都相切.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】經(jīng)過中央電視臺《魅力中國城》欄目的三輪角逐,黔東南州以三輪競演總分排名第一名問鼎“最具人氣魅力城市”.如圖統(tǒng)計了黔東南州從2010年到2017年的旅游總人數(shù)(萬人次)的變化情況,從一個側面展示了大美黔東南的魅力所在.根據(jù)這個圖表,在下列給出的黔東南州從2010年到2017年的旅游總人數(shù)的四個判斷中,錯誤的是( )
A. 旅游總人數(shù)逐年增加
B. 2017年旅游總人數(shù)超過2015、2016兩年的旅游總人數(shù)的和
C. 年份數(shù)與旅游總人數(shù)成正相關
D. 從2014年起旅游總人數(shù)增長加快
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某快餐代賣店代售多種類型的快餐,深受廣大消費者喜愛.其中,種類型的快餐每份進價為元,并以每份元的價格銷售.如果當天20:00之前賣不完,剩余的該種快餐每份以元的價格作特價處理,且全部售完.
(1)若該代賣店每天定制份種類型快餐,求種類型快餐當天的利潤(單位:元)關于當天需求量(單位:份,)的函數(shù)解析式;
(2)該代賣店記錄了一個月天的種類型快餐日需求量(每天20:00之前銷售數(shù)量)
日需求量 | ||||||
天數(shù) |
(i)假設代賣店在這一個月內(nèi)每天定制份種類型快餐,求這一個月種類型快餐的日利潤(單位:元)的平均數(shù)(精確到);
(ii)若代賣店每天定制份種類型快餐,以天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率,求種類型快餐當天的利潤不少于元的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù). 若曲線y=在點P(e,f(e))處的切線方程為y=2x-e(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,試比較與的大小,并予以證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某地一商場記錄了月份某天當中某商品的銷售量(單位:)與該地當日最高氣溫(單位:)的相關數(shù)據(jù),如下表:
(1)試求與的回歸方程;
(2)判斷與之間是正相關還是負相關;若該地月某日的最高氣溫是,試用所求回歸方程預測這天該商品的銷售量;
(3)假定該地月份的日最高氣溫,其中近似取樣本平均數(shù),近似取樣本方差,試求.
附:參考公式和有關數(shù)據(jù),,,若,則,且.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某調(diào)查機構隨機調(diào)查了歲到歲之間的位網(wǎng)上購物者的年齡分布情況,并將所得數(shù)據(jù)按照,,,,分成組,繪制成頻率分布直方圖(如圖).
(1)求頻率分布直方圖中實數(shù)的值及這位網(wǎng)上購物者中年齡在內(nèi)的人數(shù);
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從參與調(diào)查的位網(wǎng)上購物者中隨機抽取人,再從這人中任選人,設這人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
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