Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d為正數(shù)，a₁=1，2（a_na_n+1+1）=tn（1+a_n），t為常數(shù)，則a_n=2n-1．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，先求出t=4，即可得到{a_2n-1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a_2n-1=4n-3，{a_2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a_2n=4n-1，問題得以解決．

解答 解：由題設(shè)2（a_na_n+1+1）=tn（1+a_n），即a_na_n+1+1=tS_n，可得a_n+1a_n+2+1=tS_n+1，兩式相減得a_n+1（a_n+2-a_n）=ta_n+1，
由a_n+2-a_n=t，2（a₁a₂+1）=t（1+a₁）
可得a₂=t-1，
由a_n+2-a_n=t可知a₃=t+1，
因為{a_n}為等差數(shù)列，所以令2a₂=a₁+a₃，
解得t=4，
故a_n+2-a_n=4，
由此可得{a_2n-1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a_2n-1=4n-3，
{a_2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a_2n=4n-1，
所以a_n=2n-1，
故答案為：2n-1．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的通項公式的求法，關(guān)鍵掌握數(shù)列的遞推關(guān)系式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題