Question

5．如圖所示，點A、B、C是圓O上的三點，線段OC與線段AB交于圓內一點M，若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，（m＞0，n＞0），m+n=2，則∠AOB的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 設圓O的半徑為1，對$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，兩邊平方可得1=m²+2mncos∠AOB+n²，根據(jù)已知條件可知m，n∈（0，2），所以將m=2-n帶入上式并求出cos∠AOB的表達式，進而得到答案．

解答 解：由已知條件知，m，n∈（0，2），設圓O的半徑為1；
$\overrightarrow{OC}$²=（m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$）²；
∴1=m²+2mncos∠AOB+n²；
將m=2-n帶入并整理得-2n²+4n-3=（-2n²+4n）cos∠AOB；
∴cos∠AOB=1+$\frac{3}{2{n}^{2}-4n}$；
∵n∈（0，2）時，2n²-4n＜0；
且n=1時，2n²-4n取最小值-2，1+$\frac{3}{2{n}^{2}-4n}$取最大值-$\frac{1}{2}$；
此時，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，即為最小值．
故選：A

點評 考查向量數(shù)量積的運算，以及二次函數(shù)的最值，余弦函數(shù)的單調性及最值．