Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=a-1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（其中參數(shù)t∈R，a為常數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲線C普通方程；
（2）已知直線l曲線C交于A，B且|AB|=$\sqrt{5}$，求常數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的方程為，ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），即ρ²=2$\sqrt{2}ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ），利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得：t²+at+a²-2=0，△＞0，由參數(shù)t的含義知：|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答 解：（1）曲線C的方程為，ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），
即ρ²=2$\sqrt{2}ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ），
可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2x-2y，
配方后為（x-1）²+（y+1）²=2．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得：$\frac{3}{4}{t}^{2}$+$（a+\frac{1}{2}t）^{2}$=2，化為t²+at+a²-2=0，
△=a²-4（a²-2）＞0，解得a²$＜\frac{8}{3}$．
∴t₁+t₂=-a，t₁•t₂=a²-2，
由參數(shù)t的含義知：|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-4×（{a}^{2}-2）}$=$\sqrt{5}$，
化為8-3a²=5，化為a²=1，滿足△＞0，解得a=±1，
綜上：常數(shù)a的值為±1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)好奇直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與圓相交轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．