Question

13．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₁=3，$\frac{1}{2}{a_3}$是9a₁與8a₂的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；若對(duì)任意n∈N^*都有T_n＞log_m2成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），由題意列式求得q，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$，然后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；利用單調(diào)性求得最小值，結(jié)合T_n＞log_m2成立求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），由題意得：a₃=9a₁+8a₂，
∴3q²=27+24q，∴q=9或q=-1（舍去），
∴${a_n}=3•{9^{n-1}}={3^{2n-1}}$；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{{log}_3}{3^{2n-1}}•{{log}_3}{3^{2n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．
∵${T}_{n}′=\frac{2n+1-2n}{（2n+1）^{2}}=\frac{1}{（2n+1）^{2}}＞0$，∴T_n單調(diào)遞增，則T_n的最小值為$\frac{1}{3}$．
∴${log_m}2＜\frac{1}{3}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{2＞{m^{\frac{1}{3}}}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m＞1}\\{2＜{m^{\frac{1}{3}}}}\end{array}}\right.$，
∴0＜m＜1或m＞8，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，1）∪（8，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了數(shù)列中恒成立問(wèn)題的求解方法，是中檔題．