Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知，是否對任意的正實數(shù)t，λ，都有成立？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓方程為
則，
∴橢圓方程．
（2）若成立，則向量與x軸垂直，
由菱形的幾何性質(zhì)知，∠AMB的平分線應與x軸垂直．為此只需考察直線MA，MB的傾斜角是否互補即可．
由已知，設(shè)直線l的方程為：
由，∴
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，
只需證明k₁+k₂=0即可，
設(shè)
由x²+2mx+2m²-4=0可得，
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，而


=
=
=
=，
∴k₁+k₂=0，
直線MA，MB的傾斜角互補．
故對任意的正實數(shù)t，λ，都有成立．
分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)長軸長是短軸長的2倍求得a和b的關(guān)系，把點M代入橢圓的方程求得a和b的另一關(guān)系式，聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）根據(jù)推斷出與x軸垂直，進而根據(jù)菱形的幾何性質(zhì)知，∠AMB的平分線應與x軸垂直，問題轉(zhuǎn)化為求直線MA，MB的傾斜角是否互補，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，設(shè)出A，B的坐標，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出k₁和k₂，求得k₁+k₂=0，推斷出直線MA，MB的傾斜角互補，進而證明題設(shè)．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系的綜合問題．考查了學生轉(zhuǎn)化和化歸思想的運用，統(tǒng)籌運算的能力．