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【題目】已知函數,a為常數

1)判斷fx)在定義域內的單調性

2)若fx)在上的最小值為,求a的值

【答案】(1) f(x)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為,

(2) a=-

【解析】試題分析:(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x).,由此利用導數性質能求出f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

(2)由(1)根據a的取值范圍分類討論,由此利用導數性質能求出a的值.

試題解析:

(1)由題意f(x)的定義域為(0,+∞),且f′(x)=.

a0時, (x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上是單調遞增函數.

當a<0時, (x)>0 ,得x>-a; (x)<0 ,得x<-a,

所以f(x)的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為

(2)由(1)可知,f′(x)=.

①若a≥-1,則xa≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此時f(x)在[1,e]上為增函數,所以f(x)minf(1)=-a,所以a=-(舍去).

②若a≤-e,則xa≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此時f(x)在[1,e]上為減函數,所以f(x)minf(e)=1-a=-(舍去).

③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,當1<x<-a時,f′(x)<0,所以f(x)在[1,-a]上為減函數;當-a<x<e時,f′(x)>0,所以f(x)在[-a,e]上為增函數,所以f(x)minf(-a)=ln(-a)+1=a=-.

綜上所述,a=-.

練習冊系列答案
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