Question

【題目】設函數．

（1）若，討論的單調性；

（2）若在上有兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）求導得，故根據的符號可判斷函數的單調性．（2）結合（1）中的函數的單調性求解，當時在單調遞增，在單調遞減，且，故要有兩個零點，則需，解不等式可得結果；當時，可得單調遞增，而，所以在上有一個零點0，不合題意．由此可得所求范圍為．

詳解：（ 1）∵，

∴．

令，則．

∴有兩不等實根，．

且當或時，單調遞減；

當時，單調遞增．

∴在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減．

（2）解法1：

①當時，由（1）知在單調遞增，在單調遞減．

∵在上有兩個零點，且，

∴，解得．

②當時，若，則，在單調遞增，而，所以因為在上有一個零點0．

綜上得當在上有兩個零點時，實數的取值范圍為．

解法2：

①當時，若，則，在單調遞增，

又，

∴在上有一個零點0．

②當時，由（1）得，．

（ⅰ）若，則，在單調遞增．

又，

∴在上只有一個零點．

（ⅱ）若，則，在上單調遞增，在上單調遞減．

∵，

∴若在上有兩個零點，則，解得．

綜上得當在上有兩個零點時，實數的取值范圍為．