Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a1=

1

2

，且an+1=

2an

1+an

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)上述結(jié)果猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，由a₁的值，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃ 的值求出a₄的值．
（2）猜想 an=

2n-1

2n-1+1

，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答：解：（1）a2=

2

3

，a3=

4

5

，a4=

8

9

…（2分）
（2）猜想an=

2n-1

2n-1+1

，（n∈N^*）…（2分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a₁，右邊=

21-1

21-1+1

=

1

2

，猜測成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)有ak=

2k-1

2k-1+1

成立
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

2ak

1+ak

=

2• 2k-1 2k-1+1

1+ 2k-1 2k-1+1

=

2k

2k+1

=右邊．故猜測也成立．
由①②可得對一切n∈N^*，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

2n-1

2n-1+1

（n∈N^*）…（4分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．