Question

【題目】函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的圖象與y軸的交點為（0， ），它的一個對稱中心是M（ ，0），點M與最近的一條對稱軸的距離是 ．
（1）求此函數的解析式；
（2）求此函數取得最大值時x的取值集合；
（3）當x∈（0，π）時，求此函數的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的圖象

的一個對稱中心是M（ ，0），點M與最近的一條對稱軸的距離是 ，故 ，

求得ω=2，φ= ．

再根據函數的圖象與y軸的交點為（0， ），可得Asin（ω0+ ）= ，∴A=2，

函數f（x）=2sin（2x+ ）．

（2）解：令2x+ =2kπ+ ，求得 x=kπ+ ，k∈Z，故函數取得最大值時x的取值集合為{x|x=kπ+ ，k∈Z}
（3）解：令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函數的增區(qū)間為[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，k∈Z．

再結合x∈（0，π），可得函數的增區(qū)間為（0， ]、[ ，π）

【解析】（1）由函數的周期性、圖象的對稱性求出ω、φ的值，由特殊點的坐標求出A的值，可得函數的解析式．（2）利用正弦函數的最大值，求得函數取得最大值時x的取值集合．（3）利用正弦函數的調增區(qū)間，求得當x∈（0，π）時，此函數的單調遞增區(qū)間．